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수학자와 그래픽 프로그래머는 종종 두 벡터 사이의 각도를 찾아야합니다. 다행히도이 각도를 계산하는 데 사용되는 공식은 단순한 스칼라 곱만 필요합니다. 2 차원 벡터를 사용하면이 공식의 배경을 이해하기가 더 쉽지만, 구성 요소가 많은 벡터에 쉽게 적용 할 수 있습니다.

단계

2 단계 중 1 : 두 벡터 사이의 각도 계산

1. 

   두 벡터를 식별합니다. 두 벡터에 대해 알려진 모든 정보를 기록하십시오. 이 튜토리얼에서는 벡터의 차원 좌표 (또는 구성 요소). 이미 알고 있다면 기준 치수 또는 표준 이러한 벡터 (즉, 길이) 중 일부는 아래 단계를 건너 뛸 수 있습니다.
   • 예 : 2 차원 벡터 = (2,2) 및 = (0,3)을 고려합니다. 이 두 벡터는 = 2로 다시 쓸 수 있습니다.나는 + 2제이 e = 0나는 + 3제이 = 3제이.
   • 이 예에서는 2 차원 벡터를 사용하지만 다음 지침을 구성 요소 수에 관계없이 벡터에 적용 할 수 있습니다.

2. 

   
   
   코사인 공식을 작성하십시오. 두 벡터 사이의 각도 θ 값을 찾으려면 먼저 해당 각도의 코사인을 계산해야합니다. 공식을 자세히 검색하고 찾거나 아래와 같이 간단히 작성할 수 있습니다.
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| 나타냅니다 기준 치수 (또는 길이) 벡터 ".
   • •는 스칼라 곱 (또는 내부 곱) 두 벡터.

3. 

   
   
   각 벡터의 계수를 계산합니다. 구성 요소에 의해 형성된 직각 삼각형을 상상해보십시오. 엑스 벡터의 구성 요소 와이 그리고 벡터 자체. 이 삼각형에서 벡터는 빗변의 역할을합니다. 따라서 길이를 찾기 위해 피타고라스 정리를 적용합니다. 결과적으로이 공식은 여러 성분이있는 벡터에 쉽게 적용 할 수 있습니다.
   • || u || = u₁ + u₂. 벡터에 3 개 이상의 성분이 있으면 계속해서 + u를 추가합니다.₃ + u₄ +...
   • 따라서 2 차원 벡터의 경우 || u || = √ (u₁ + u₂).
   • 이 예에서는 |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   두 벡터 간의 스칼라 곱을 계산합니다. 벡터를 곱하는 방법을 이미 알고 있어야합니다. 스칼라 곱. 두 벡터의 스칼라 곱을 구성 요소로 계산하기 위해 동일한 방향의 구성 요소를 서로 곱한 다음 해당 결과를 더합니다.
   • 컴퓨터 그래픽 프로그램으로 작업하는 경우 계속하기 전에 먼저 "팁"섹션을 방문하십시오.
   • 수학적 측면에서 • = u₁V₁ + u₂V₂, 여기서 u = (u₁, u₂). 벡터에 3 개 이상의 성분이있는 경우 계속해서 + u를 추가합니다.₃V₃ + u₄V₄...
   • 이 예에서 • = u₁V₁ + u₂V₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. 이것은 벡터와 사이의 스칼라 곱의 값입니다.

5. 

   이 결과를 코사인 공식으로 대체하십시오. cosθ = (•) / (|||| || ||)를 기억하십시오. 우리는 이미 스칼라 곱과 두 벡터의 모듈을 계산했습니다. 이제 공식에서 이러한 값을 바꾸고 각도의 코사인을 계산해 봅시다.
   • 이 예에서 cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   코사인을 기준으로 각도를 찾으십시오.
   계산기의 arc 또는 cos 함수를 사용하여 코사인 값에서 각도 θ를 결정합니다. 경우에 따라 단위 원을 기준으로 각도 값을 찾을 수 있습니다.
   • 이 예에서 cosθ = √2 / 2. 계산기에 "arccos (√2 ​​/ 2)"를 입력하여 각도를 찾으세요. 또 다른 옵션은 cosθ = √2 / 2 인 단위 원의 각도 θ를 찾는 것입니다. θ = /₄ 또는 45 °.
   • 모든 정보를 종합하면 최종 공식 θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))이됩니다.

2/2 부 : 각도 계산 공식 정의

1. 

   공식의 목적을 이해하십시오. 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 데 사용한 공식은 기존 규칙에서 파생 된 것이 아닙니다. 대신 두 벡터 사이의 스칼라 곱과 그 사이의 각도에 대한 정의로 생성되었습니다. 그러나이 결정은 임의적이지 않습니다. 기본 지오메트리를 자세히 살펴보면이 공식이 왜 유용하고 직관적 인 정의가되는지 알 수 있습니다.
   • 다음 예제는 작업하기에 가장 직관적 인 유형이기 때문에 2 차원 벡터를 사용합니다. 3 차원 이상의 벡터는 일반 공식에서 정의 된 속성을 갖습니다 (또한 매우 유사한 방식).

2. 

   코사인 법칙을 검토하십시오. 삼각형에서 변에 의해 형성된 각도 θ를 고려하십시오 그만큼 과 비 그리고 측면 씨 그 각도 반대. 코사인 법칙에 따르면 c = a + b -2ab허리띠(θ). 이 공식의 데모는 기본 기하학에 대한 지식에서 쉽게 얻을 수 있습니다.

3. 

   두 벡터를 연결하여 삼각형을 만듭니다. 한 쌍의 벡터를 그리고 그 사이에 각도 θ를 그립니다. 그런 다음 그 사이에 세 번째 벡터를 그려 삼각형을 만듭니다. 즉, + = 또는 단순히 =-가되도록 벡터를 그립니다.

4. 

   이 삼각형에 코사인 법칙을 적용합니다. 우리의 측면의 길이를 교체 벡터 삼각형 (즉, 벡터 모듈) 코사인 법칙에 대한 공식 :
   • || (a-b) || = || a || + || b || -2 || a || || b ||허리띠(θ)

5. 

   스칼라 곱을 사용하여 수식을 다시 작성하십시오. 내적은 다른 벡터에 투영 된 한 벡터의 확대입니다. 벡터 자체의 스칼라 곱은 방향 변경이 없기 때문에 투영이 필요하지 않습니다. 이것은 • = || a ||를 의미합니다. 이 정보를 바탕으로 코사인 법칙의 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
   • (-) • (-) = • + •-2 || a || || b ||허리띠(θ)

6. 

   공식을 단순화하십시오. 방정식의 왼쪽에있는 곱을 확장 한 다음 각도 계산에 대해 알고있는 공식에 도달 할 때까지 단순화하십시오.
   • •-•-• + • = • + •-2 || a || || b ||허리띠(θ)
   • -•-• = -2 || a || || b ||허리띠(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||허리띠(θ)
   • • = || a || || b ||허리띠(θ)

팁

• 빠른 해결을 위해 2 차원 벡터 쌍에 다음 공식을 적용하십시오. cosθ = (u₁ • V₁ + u₂ • V₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • V₂)).
• 컴퓨터 그래픽 프로그램으로 작업하는 경우 벡터의 길이가 아닌 방향 만 알면됩니다. 방정식을 단순화하고 프로그램 속도를 높이려면 아래 단계를 따르십시오.
  • 각 벡터를 정규화합니다. 즉, 원래 벡터와 방향이 같은 단위 벡터를 찾습니다. 이렇게하려면 벡터의 각 구성 요소를 벡터 모듈로 나눕니다.
  • 원래 벡터가 아니라 정규화 된 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다.
  • 정규화 된 벡터의 모듈러스 (즉, 길이)는 단일이므로 공식에서 제외 할 수 있습니다. 각도 계산을위한 최종 방정식은 호 (•)입니다.
• 코사인 법칙의 공식을 기반으로 해당 각도가 예각인지 둔각인지 빠르게 확인할 수 있습니다. cosθ = (•) / (|||| ||||)로 시작 :
  • 방정식의 왼쪽과 오른쪽은 동일한 부호 (양수 또는 음수)를 가져야합니다.
  • 길이가 항상 양수이므로 cosθ는 항상 스칼라 곱과 동일한 부호를 갖습니다.
  • 따라서 스칼라 곱이 양수이면 cosθ는 양수입니다. 이는 각도가 단위 원의 1 사분면, 즉 θ <π / 2 또는 90 °에 있음을 의미합니다. 따라서 각도가 예리합니다.
  • 스칼라 곱이 음수이면 cosθ는 음수입니다. 이는 각도가 단위 원의 2 사분면, 즉 π / 2 <θ ≤ π 또는 90 ° <θ ≤ 180 °에 있음을 의미합니다. 따라서 각도가 둔합니다.