제곱근과 관련된 문제를 해결하는 방법

동영상: [나의하버드수학시간방학특집7]제곱근과실수핵심135문제 중 106-135번 문제들 함께 풀어보기!!!

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단계
팁

수학에 어려움을 겪는 사람들에게는 제곱근의 상징을 보면 오한이 생길 수 있습니다. 그러나이 연산자와 관련된 문제는 보이는 것만 큼 어렵지 않습니다. 때로는 단순한 제곱근 문제가 단순한 곱셈이나 나눗셈처럼 쉬울 수 있습니다. 반면에 더 복잡한 문제는 더 많은 작업이 될 수 있습니다. 그래도 올바른 접근 방식을 사용하면 모두 쉽게 보일 것입니다. 지금 제곱근 문제 연습을 시작하고이 새로운 수학 기술을 배우십시오. 근본적인!

단계

1/3 부 : 제곱근과 제곱근의 개념 이해

제곱근을 이해하기 전에 먼저 숫자의 제곱이 무엇인지 이해하십시오. 이해하기 쉽습니다. 숫자를 제곱하려면 그 자체로 곱하면됩니다. 예를 들어, 3 제곱은 3 × 3 = 9와 같고 9 제곱은 9 × 9 = 81과 같습니다. 사각형은 올릴 숫자의 오른쪽 상단에 작은 "2"로 표시됩니다. 이렇게 : 3, 9, 100 등등.
- 개념을 연습하려면 몇 개의 숫자를 더 제곱하십시오. 숫자를 제곱하는 것은 단순히 숫자를 곱하는 것입니다. 음수로도이 작업을 수행 할 수 있지만이 경우 대답은 항상 양수입니다. 예 : -8 = -8 × -8 = 64.
제곱근을 찾으려면 강화의 "역"을 찾으십시오. 루트 기호 (√, "라디 컬"이라고도 함)는 기본적으로 기호의 "반대"를 의미합니다. 근호를 볼 때 스스로에게 물어보십시오.“결과가 근호 내의 수가되도록 스스로 곱할 수있는 수는 무엇입니까?”예를 들어, √ (9)를 볼 때 제곱 한 수를 찾으십시오. 이 경우 답은 다음과 같습니다. 세3 = 9이기 때문입니다.
- 또 다른 예 : 25 (√ (25))의 제곱근을 찾아 봅시다. 이것은 제곱이 25와 같은 숫자를 찾아야 함을 의미합니다. 5 = 5 × 5 = 25이므로 √ (25) = 5.
- 이 작업을 정사각형 입면을 "실행 취소"하는 방법으로 생각할 수도 있습니다. 예를 들어 64의 제곱근 인 √ (64)를 찾아야한다면 64를 8로 생각해야합니다. 제곱근은 기본적으로 표고 제곱을 "취소"하므로 √ (64) = √ (8) = 8.
완전 제곱수와 불완전 제곱수의 차이를 이해합니다. 지금까지 제곱근 문제에 대한 답은 정수였습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 사실, 방사선 작업의 결과는 때때로 길고 복잡한 소수를 초래할 수 있습니다. 숫자의 근이 정수이면, 즉 분수 나 소수가 아닌 경우 호출됩니다. 완전 제곱. 위에 표시된 모든 예 (9, 25 및 64)는 근이 정수 (각각 3, 5 및 8)이기 때문에 완전 제곱입니다.
- 반면에 뿌리가 정수가 아닌 숫자는 불완전한 사각형. 이 숫자 중 하나의 근을 계산할 때 일반적으로 분수 또는 소수 인 결과를 얻습니다. 때로는 관련된 소수가 매우 복잡 할 수 있습니다. 예 : √ (13) = 3,605551275464...
적어도 처음 12 개의 완전 제곱을 외우십시오. 앞서 살펴본 것처럼 숫자의 제곱근을 계산하는 것은 매우 쉽습니다! 따라서 처음 12 개의 완전 제곱의 제곱근을 암기하는 시간을 갖는 것이 중요합니다. 테스트에 많이 나오는 경향이 있으므로 암기하면 많은 시간을 절약 할 수 있습니다. 처음 12 개의 완전 제곱은 다음과 같습니다.
- 1 = 1 × 1 = 1
- 2 = 2 × 2 = 4
- 3 = 3 × 3 = 9
- 4 = 4 × 4 = 16
- 5 = 5 × 5 = 25
- 6 = 6 × 6 = 36
- 7 = 7 × 7 = 49
- 8 = 8 × 8 = 64
- 9 = 9 × 9 = 81
- 10 = 10 × 10 = 100
- 11 = 11 × 11 = 121
- 12 = 12 × 12 = 144
가능하면 완전한 제곱을 제거하여 근을 단순화하십시오. 불완전한 제곱의 제곱근을 찾는 것은 매우 까다로울 수 있습니다. 특히 계산기를 사용할 수없는 경우에는 더욱 그렇습니다 (아래 섹션에서 프로세스를 단순화하는 방법을 배우게됩니다). 그러나 계산을 더 쉽게하기 위해 루트 내부의 숫자를 단순화 할 수 있습니다. 근 안의 숫자를 인자로 나눈 다음 완전 제곱 인 인자의 근을 계산하고 근호 밖에 답을 쓰면됩니다. 보기보다 쉽습니다. 더 잘 이해하려면 아래를 참조하십시오!
- 900의 루트를 찾아야한다고 가정 해 봅시다. 처음에는 꽤 어려운 작업 인 것 같습니다! 900을 요소로 나누면 모든 것이 훨씬 쉽습니다. 숫자 "x"의 인수는 곱하면 "x"가되는 숫자 집합입니다. 예를 들어 1 × 6과 2 × 3을 곱하여 6을 얻을 수 있으므로 6의 인수는 1, 2, 3 및 6입니다.
- 조금 이상 할 수있는 900으로 작업하는 대신 9 × 100으로 작성하겠습니다. 이제 완전 제곱 인 9가 100에서 분리되므로 제곱근을 계산할 수 있습니다. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). 즉, √ (900) = 3√(100).
- 100을 인수 25와 4로 나누면서 여전히 두 번 더 단순화 할 수 있습니다. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. 따라서 √ (900) = 3 (10) = 30.
허수를 사용하여 음수의 근을 계산합니다. 자신에게 어떤 숫자를 곱하면 -16이 되는가? 이 두 숫자의 제곱이 16이기 때문에 4 나 -4가 아닙니다. 포기해야합니까? 사실, 실수 만 사용하여 -16 또는 다른 음수의 제곱근을 쓸 수있는 방법은 없습니다. 이러한 경우 음수의 제곱근을 대체하기 위해 허수 (일반적으로 문자 또는 기호 형태)를 사용해야합니다. 예를 들어 변수 "i"는 -1의 제곱근을 나타내는 데 사용됩니다. 일반적으로 음수의 근은 항상 허수 (또는 적어도 포함)입니다.
- 허수는 실수로 표현할 수 없지만 어떤 방식 으로든 그대로 취급 할 수 있습니다. 예를 들어 음수 "-x"의 근이 제곱 된 경우 다른 근과 마찬가지로 "-x"가됩니다. 즉, i = -1

3 단계 중 2 : 긴 나눗셈과 유사한 방법 사용

제곱근 문제를 긴 나눗셈 인 것처럼 처리합니다. 약간 힘들지만 계산기를 사용하지 않고도 복잡한 불완전 제곱수의 제곱근을 찾을 수 있습니다. 방법 (또는 알고리즘)은 긴 나눗셈의 방법 (또는 동일하지는 않음)과 유사합니다. 긴 나눗셈은 손으로 나눗셈을 계산하는 데 사용되는 전통적인 방법입니다.
- 문제의 초기 포지셔닝부터 시작하십시오. 이것은 긴 분할과 유사합니다. 예를 들어 완전한 제곱이 아닌 6.45의 근을 찾아야한다고 가정 해 보겠습니다. 먼저 제곱근 기호 (√)를 쓰고 그 안에 숫자를 넣습니다. 그런 다음 기호 √에서 전체 숫자를 덮을 때까지 선을 만들어야하며, 긴 구분선이있는 상자와 비슷한 상자 안에 남겨 둡니다. 차이점은 여기에서 답은 기존 부서에서와 같이 아래가 아니라 해당 상자 위에 있다는 것입니다. 완료되면 전체 숫자 6.45를 덮는 길쭉한 "√"기호가 표시됩니다.
- 이 상자에 숫자를 적어 보겠습니다.
숫자를 쌍으로 그룹화하십시오. 문제 해결을 시작하려면 스템 내부의 숫자를 소수점으로 시작하여 쌍으로 그룹화하십시오. 쌍 사이에 작은 표시 (예 : 마침표, 막대, 쉼표 등)를 만들어 구분할 수 있습니다.
- 이 예에서는 6.45를 다음과 같이 세 쌍으로 나누어야합니다. 6-,45-00. 왼쪽에 숫자가 하나 적습니다. 문제가 없습니다.
제곱이 첫 번째 "그룹"의 값보다 작거나 같은 가장 큰 숫자를 찾습니다. 왼쪽에있는 첫 번째 숫자 쌍으로 시작하십시오. 제곱이 "그룹"보다 작거나 같은 가장 큰 숫자를 선택하십시오. 예를 들어, 그룹이 37 인 경우 6 = 36 <37이지만 7 = 49> 37이므로 6을 선택합니다.이 숫자를 첫 번째 그룹 위에 씁니다. 이것은 답의 첫 번째 숫자입니다.
- 이 예에서 6-, 45-00의 첫 번째 그룹은 6입니다. 제곱이 6보다 작거나 같은 첫 번째로 큰 숫자는 다음과 같습니다. 2, 2 = 4이기 때문입니다. 근호 안에있는 6 위에 "2"를 쓰세요.
답의 첫 번째 숫자 (방금 찾은 숫자)를보고 2를 곱합니다. 이제 첫 번째 그룹 아래에 결과를 쓰고 빼기를 수행하여 차이를 찾습니다. 그런 다음 다음 숫자 쌍을 아래로 스크롤하여 방금 찾은 차이에 추가하십시오. 마지막으로, 왼쪽에있는 답의 첫 번째 숫자를 두 배로 마지막 숫자를 쓰고 그 옆에 공백을 둡니다.
- 이 예에서 첫 번째 단계는 답의 첫 번째 숫자 인 2의 두 배를 찾는 것입니다. 2 × 2 = 4. 그런 다음 6 (첫 번째 "그룹")에서 4를 빼서 2를 답으로 얻어야합니다. 이제 245를 얻기 위해 다음 그룹 (45)으로 내려 가야합니다. 마지막으로 왼쪽에 4를 다시 쓰고 오른쪽에 작은 공백을 남겨 둡니다. 4_.
빈칸을 채우세요. 이제 우리는 왼쪽에 쓰는 숫자 옆의 공백 자리에 숫자를 넣어야합니다. 공백이 자체로 바뀐 상태에서 왼쪽의 숫자로 곱했을 때 최대 값을 갖지만 오른쪽의 숫자보다 작은 숫자를 선택하십시오. 이것은 약간 복잡해 보일 수 있으므로 이해하기 위해 몇 가지 예를 살펴 보겠습니다. 아래로 내려간 숫자, 즉 오른쪽에있는 숫자가 1700이고 오른쪽에있는 숫자가 40_이면 404 × 4 = 1616 <1700 및 405 × 5 = 2025이기 때문에 빈칸에 숫자 4를 채 웁니다. 이 단계에서 찾은 숫자는 답의 두 번째 자리가되므로 줄기 기호 위에 추가 할 수 있습니다.
- 이 예에서는 4_ × _의 빈 공간을 채울 숫자를 찾아야합니다.이 숫자는 답을 가능한 한 크게하지만 245보다 작거나 같습니다.이 경우 답은 다음과 같습니다. 545 × 5 = 225 및 46 × 6 = 276이기 때문입니다.
빈칸을 채우는 숫자를 계속 사용하여 답을 작성하십시오. 근수에서 내려 오는 숫자를 빼서 0을 얻기 시작하거나 원하는 정밀도 수준에 도달 할 때까지이 수정 된 긴 나눗셈 방법을 계속합니다. 완료되면 각 단계에서 공백을 채우는 데 사용 된 숫자 (물론 우리가 사용하는 첫 번째 숫자)가 답 자리를 구성합니다.
- 예를 계속해서 245에서 225를 빼서 20을 얻습니다. 그런 다음 숫자 00을 아래로 내려 2000을 얻습니다. 근호 위의 숫자를 두 배로 늘리면 25 × 2 = 50이됩니다. 빈 수를 50_ ×로 설정하면 _ = / <2,000, 우리는 3. 이 시점에서 우리는 급진적에 대한 "253"을 가지고 있습니다. 이 과정을 다시 반복하면 다음 숫자로 9가 표시됩니다.
답의 올바른 위치에 쉼표를 넣으십시오. 답을 끝내려면 여전히 소수점을 올바른 위치에 놓아야합니다. 이 부분은 간단합니다. 답의 쉼표를 근호 안의 숫자에있는 쉼표와 같은 위치에 넣으십시오. 예를 들어, 근호 안의 숫자가 49.8이면 아래에 해당하는 위치, 즉 9와 8 위의 두 숫자 사이에 쉼표를 대답에 넣으십시오.
- 이 예에서 근호 내의 숫자는 6.45입니다. 답을 얻으려면 6과 4 이상의 숫자 사이에 쉼표를 넣으십시오.이 경우에는 각각 2와 5가됩니다. 답을 얻으려면 : 2,539.

3/3 부 : 불완전 제곱을 빠르게 추정하기

견적을 통해 답을 찾으십시오. 완전 제곱근을 알면 불완전 제곱근을 찾는 것이 훨씬 쉬워 질 것입니다. 이전 단계에서 적어도 처음 12 개의 완전 제곱과 그 근을 암기하는 것이 좋습니다. 좋은 소식은 추정치를 사용하여 우리가 알고있는 두 개의 완전 제곱 사이에있는 불완전 제곱근의 근사치를 구할 수 있다는 것입니다. 이를 위해 원하는 수보다 큰 첫 번째 완전 제곱과 마지막 작은 제곱을 찾아 문제의 숫자가 둘 사이에 있도록해야합니다. 그런 다음 원하는 숫자의 근이 가장 가까운이 두 개의 완벽한 제곱 중 어느 것이 가장 가까운 지 알아 내야합니다.
- 예를 들어, 40의 제곱근을 찾아야한다고 가정합니다. 완벽한 제곱을 기억하기 때문에 40은 6과 7 사이, 즉 36과 49 사이라고 말할 수 있습니다. 40은 6보다 크므로 제곱근은 다음과 같습니다. 6보다 큽니다. 마찬가지로 7보다 작기 때문에 루트는 7보다 작을 것입니다. 40은 49보다 36에 조금 더 가까우므로 답은 아마도 6에 가까울 것입니다. 다음 단계에서 , 추정의 정확성을 높일 것입니다.
소수점 한 자리까지 정밀도를 높입니다. 숫자를 포함하는 범위를 형성하는 두 개의 연속 된 완전 제곱을 찾았 으면 만족 스러울 정도로 추정의 정확도를 높이십시오. 추정치를 개선하려는 시도가 많을수록 정확도가 높아집니다. 시작하려면 소수점 첫째 자리의 값을 추정하십시오. 이 추정이 정확할 필요는 없지만, 답에 가장 가까운 값을 선택하기 위해 논리를 사용하면 프로세스가 용이 해집니다.
- 이 예에서 40 제곱근에 대한 허용 가능한 추정치는 다음과 같을 수 있습니다. 6,4, 우리는 이미 대답이 7보다 6에 조금 더 가깝다는 것을 이미 알고 있기 때문입니다.
추정치를 그 자체로 곱하십시오. 운이 좋지 않으면 결과는 시작 번호 (이 예에서는 40)가 아닙니다. 정답에 가까워 지려면 추정치를 조정해야합니다.결과가 시작 숫자보다 크면 (즉, 40보다 크면) 더 낮은 추정치를 사용해보십시오. 마찬가지로 결과가 원하는 수보다 작 으면 추정치를 늘립니다.
- 6.4를 곱하면 6.4 × 6.4 = 40,96, 이는 초기 수치보다 약간 높습니다.
- 이제 우리의 추정치가 정확한 값보다 약간 높았으므로 1/10만큼 줄여서 6.3 × 6.3 = 39,69. 이제 결과는 원래 숫자보다 약간 적었습니다. 이것은 40의 근이 어떤 숫자라는 것을 의미합니다 6.3에서 6.4 사이. 또한 39.69가 40.96보다 40에 더 가깝기 때문에 루트가 6.4가 아니라 6.3에 더 가깝다는 것을 알고 있습니다.
필요한 경우 견적을 계속 개선하십시오. 이 시점에서 답이 만족 스러우면 첫 번째 근사치 중 하나를 추정치로 사용하십시오. 그러나 더 정확한 답이 필요하면 소수점 둘째 자리, 이전 두 값 사이 (즉, 6.3에서 6.4 사이)를 선택합니다. 이 방법을 사용하면 답에 필요한 정밀도에만 의존하여 소수점 3 자리, 4 자리, 5 자리 등을 추정 할 수 있습니다.
- 이 예에서는 6.33을 선택하여 소수점 둘째 자리까지 추정 할 수 있습니다. 6.33을 곱하면 6.33 × 6.33 = 40.0689가됩니다. 이 결과는 초기 수치보다 약간 높았으므로 6.32와 같이 약간 낮은 값을 선택할 수 있습니다. 이 경우 6.32 × 6.32 = 39.9424, 결과는 시작 번호보다 약간 낮습니다. 따라서 40의 정확한 근은 다음과 같다고 결론을 내릴 수 있습니다. 6.32에서 6.33 사이. 필요한 경우이 방법을 계속하여 원하는 숫자의 근에 점점 더 정확한 근사치를 얻을 수 있습니다.